ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ

Основы теории подобия

Теория подобия, наряду с решением практических задач определения степени соответствия модели и объекта, в значительной мере играет роль методологической базы моделирования. Эта сторона вопроса и теснейшая связь отражены в книге В. А. Веникова.

Рассмотрим основные положения и понятия этой теории, в том числе три теоремы о подобии и два очень важных, с точки зрения практики построения моделей, дополнительных положения.

Определение параметров процесса

Переменные, характеризующие изменения состояния процесса во времени или пространстве, будем называть параметрами процесса. Эти процессы протекают в системе, состоящей из элементов, которые характеризуются своими параметрами, называемыми параметрами системы.

Подобие процессов(явлений)

Процессы (явления) считаются подобными друг другу, если существует некоторое соответствие сходственных величин рассматриваемыхсистем: положение точек, геометрических размеров и т. д., т. е. параметров процессов.

На практике обычно имеют дело с приближенным, а не с абсолютным подобием, т. е. системы считаются подобными, если подобны наиболее существенные с точки зрения поставленной задачи процессы.

Обычно соотношения подобия имеют следующий вид:

      (2.1)где; -сходственные параметры процессов и элементов рассматриваемых систем;

– коэффициент подобия или масштаб сходственных параметров.

Первая теорема подобия

Явления, подобные в том или ином смысле (физически, математически, кибернетически и т. д.) имеют некоторые одинаковые сочетания параметров, называемые критериями (числами)подобия.

Например, изучаются два процесса, описываемые уравнениями, члены которых являются однородными функциями параметров или их производных:

для первого процесса:

      (2.2)       (2.3)для второго процесса:

      (2.4)где

      (2.5)Уравнения (2) и (4) можно привести к безразмерному виду делением на -й член

      (2.2а)      (2.4а)Поскольку процессы подобны, то между сходственными параметрами существуют соотношения

      (2.6)После подстановки этих соотношений в уравнение (2.3) можно вследствие однородности функции , вынести масштабы , , … , в соответствующих степенях за знак функции в виде общего множителя:

      (2.7)или

      (2.8)При подстановке выражения (2.8) в формулу (2.2а) получим

      (2.2б)Вследствие однородности уравнения (2.2) общие множители для каждого члена равны, т.е.

      (2.9)Следовательно, уравнения (2.2б) и (2.4а) оказываются тождественными, а между соответствующими членами уравнений (2.2а) и (2.4а) существуют соотношения:

      (2.10)Обобщая на подобных процессов, получаем

      (2.11)где означает “соответственно одинаково, для всех рассматриваемых процессов”.

Критерии или числа подобия – отношения членов уравнения, представляющие собой безразмерные комбинации параметров, численно одинаковые для всех подобных процессов.

Рассмотренный способ нахождения чисел подобия основан на анализе уравнений процессов.

Вторая теорема подобия

Известна под названием – теоремы. Она гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между числами подобия, т. е. уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из участвующих в процессе параметров.

Можно осуществить замену переменных, сократив их число с размерных величин до безразмерных (запись в критериальной форме). При этом весьма упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований.

Переход к безразмерным соотношениям (к связям между критериями) позволяет распространить результаты, полученные при исследовании конкретного процесса, на ряд подобных процессов, т. е. открывается возможность обобщений. Причем можно находить критериальные соотношения, не имея математического описания процесса в виде уравнения, а зная только все влияющие величины и их размерности.

Например, связи между параметрами процесса и параметрами элементов системы, в которой он протекает, можно представить следующим образом:

      (2.12)где

Эта зависимость называется полной, если она учитывает все связи между входящими в нее величинами. Тогда она не меняется при любом значении единиц измерения физических величин.

Это правило нарушается, если уравнение отражает не все связи между переменными, а только некоторые частные зависимости, справедливые при определенных условиях.

Например, для какого-то частного случая можно записать уравнение в следующем виде:

      (2.13)где

Это неполное уравнение, зависящее от системы единиц, может перейти в полное, если раскрыть функциональную связь

В качестве примера можно привести уравнение Гей-Люсака , которое является неполным, если при понимать некоторую постоянную численную величину. Оно перейдет в полное, если раскрыть зависимость от давления и универсальной газовой постоянной :

-теорема относится только к процессам, отражаемым полными уравнениями и записанными в определенной системе единиц. Покажем, что в соответствии с этой теоремой можно перейти от зависимости между физическими величинами (исходными переменными) к зависимости между критериями.

Тогда уравнение (2.12) можно записать следующим образом:

      (2.14)Не все величины можно выбирать произвольно. Например, выбрав величины, измеряющие ток и напряжение, нельзя независимо выбрать величины, измеряющие мощность и сопротивление. Можно определить, какое число независимых величин выбирается из общего множества и найти способ выбора остальных, рассмотрев формулы размерностей этих величин, входящих в указанное соотношение.

Поскольку независимых величин выбираются произвольно, то можно принять, что . Тогда (2.14) принимает вид

      (2.15)или

      (2.16)где – числа подобия.

Это уравнение отвечает формулировке второй теоремы подобия, представляя связь между числами подобия вместо исходных параметров.

Оно может быть разрешено относительно одного из чисел подобия

      (2.17)Соотношение такого вида (математическая формулировка -теоремы) называется критериальным уравнением. Оно показывает, что одно изчисел подобия является функцией остальных . Зависимый критерий при соблюдении независимых выполняется автоматически.

Третья теорема подобия

Третья теорема формулирует условия, необходимые и достаточные для практической реализации подобия.

Она утверждает: для подобия явлений должны быть соответственно одинаковыми определяющие числа подобия (содержащие независимыепараметры процессов и систем) и подобны условия однозначности (параметры и зависимости, выделяющие данное явление из всего многообразия явлений данного вида).

Дополнительное положение о подобии сложных систем

Подобие сложных [13] систем , состоящих из нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности , обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся общими для подсистем (рис.2.1).

Или в другой формулировке: две независимые подсистемы , по отдельности подобные двум другим системам , будучи сходственно соединены друг с другом через третьи системы , образуют две новые сложные системы , которые будут подобны, если только соединяющие системы подобны друг другу ( подобна ).

Рис. 2.1 Подобие сложных систем

Например, если имеются с одной стороны реальная система автоматического регулирования (рис.2.2,а), с другой стороны – модели объекта , измерительного прибора , исполнительного механизма , регулятора и регулирующего органа , то, соединив их сходственным образом, получим модель системы автоматического регулирования (рис.2.2,б).

Подобие при вероятности характере изучаемых явлений

Все теоремы, относящиеся к детерминировано – заданным системам, будут справедливы для случаев с вероятностным характером изучаемых явлений при соблюдении следующих условий.

Должны быть одинаковыми плотности вероятностей для сходственных параметров, представленных в виде относительных характеристик, а также математические ожидания и дисперсии (с учетом масштабов). Дополнительным условием подобия является требование физической реализуемости сходственной корреляции между стохастически заданными параметрами, входящими в условия однозначности.

Рис. 2.2 Синтез структуры модели на основе положения о подобии сложных система

Например, корреляция между расходами газообразного топлива и воздуха, подаваемыми в нагревательную печь, вполне объяснима физически, поскольку для сжигания единицы объема газа требуется определенный объем воздуха (при условии полного смешения и дожигания).

Возможно, вам будет интересно также:

Теория подобия. Теоремы подобия. Условия осуществления подобия. Подобие уравнений общего вида

1. Теоремы подобия.

1.1. Первая теорема подобия.

1.2. Вторая теорема подобия.

1.3. Третья теорема подобия.

2. Условияосуществления подобия

2.1. Степенные комплексы.

2.2. Свойства степенных комплексов.

2.3. Условия осуществления подобия дляпростых уравнений.

3. Подобиеуравнений общего вида.

3.1. Четвертое условие подобия.

3.2. Пятое условие подобия.

4.  Процессподобного моделирования.

4.1. Исходные данные, необходимые дляподобного моделирования.

4.2. Этапы подобного моделирования.

4.2.1.1.1 Пример 1.

4.2.1.1.2 Пример 2.

5. Критерии подобия гидромеханическихпроцессов

6. Критерии подобия для тепловыхпроцессов

6.1. Передача тепла конвекцией

6.2.    Теплоотдача при вынужденнойконвекции

6.2.1. Движение теплоносителя потрубам и каналам

6.2.2. Теплоотдача при движениитеплоносителя вне труб

6.2.3. Перемешивание жидкости мешалкой

6.2.4. Стекание жидкости пленкой

Подобие в математическом моделировании.

Понятие о подобии зародилось в древности в геометрии.Геометрически подобными фигурами считались такие, которые имели одну и ту жеформу и обладали свойством пропорциональности сходственных линейных размеров.

Позже, уже в средние века, понятие о подобии было распространенона физические явления. Позже стали говорить о тепловом подобии, кинематическомподобии,  динамическом подобии и т.д.

Напомним определение подобия.

Подобие – это полная математическая аналогия при наличиипропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся привсех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям[1].

Подобные модели, обеспечивают перенос данных, полученных в результатеисследования модели на оригинал, на основании подобия оригинала и модели.

1 .  Теоремы подобия

Подобию во всех его видах свойственнынекоторые общие закономерности, которые принято называть первойвторой и третьей теоремамиподобия. Две первые теоремы устанавливают соотношения между параметрамиподобных явлений, не указывая способов реализации подобия при построениимоделей. Ответ на последний вопрос дает третья или обратная теорема подобия.

Сформулируем без доказательства перечисленные теоремы подобия.

1.1.  Первая теорема подобия

Если явления подобны илифизически или математически или в другом каком-либо смысле, то всегда из ихпараметров можно составить такие сочетания, что они будут одинаковы для обоихподобных явлений[2].

Безразмерные сочетанияпараметров, численно одинаковые для подобных явлений, носятназвание «Критерии подобия» или «числа подобия».

Из определения следует: из параметров подобных явлений всегдаможно составить такие сочетания, что их отношения для подобных явлений будутравны единице.

Первая теорема может быть сформулирована и следующим образом:«равенство одноименных чисел подобия является следствием подобия физических явлений».

1.2.  Вторая теорема подобия (p-теорема)

Всякое полное уравнение физического процесса, записанное вопределенной системе единиц, может быть представлено зависимостью междукритериями подобия, (то есть полное уравнение физического процесса может бытьпредставлено уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные изпараметров, участвующих в процессе).[3]

Отметим, что данная теорема касается только процессов, отражаемыхполными уравнениями и записанных в определенной системе единиц.

Таким образом, эта теорема указывает, как должны бытьобработаны результаты экспериментов при изучении явления, а именно, они должныбыть представлены в виде зависимости между безразмерными числами подобия, а немежду отдельными размерными величинами.

1.3.  Третья теорема подобия

Для подобия явлений — определяющие критерии подобия должны бытьсоответственно одинаковыми, а  условия однозначности (краевые условия) подобны.[4]

2 .  Условия осуществленияподобия

Определим условия осуществленияподобия для  простых уравнений и уравнений в общем виде для случаев, когдапоследние имеют единственное, не единственное и неоднозначное решения.

Наиболее общие  условия  подобия уравнений можно сформулировать на  базе понятия о степенных комплексах и их подобии.

2.1.  Степенные комплексы.

Степенным комплексом называется функция вида

правая часть которой представляет собойпроизведение различных степеней постоянных или переменных величин xi,причем ai — любые числа.

Представим себе, что из N величин x1, x2, x3 …xNобразовано n различных степенных комплексов

В общем случае все степенные комплексы можно подразделить на простыеи составные.

Простыми степенными комплексами считаются такие, что ниодин из них не может быть представлен в виде степенного комплекса, образованного  из  степенных комплексов этой группы.

https://www.youtube.com/watch?v=FU_TMYWERNA

С учетом данного определения, представленная нами группа степенныхкомплексов включает p – простых и (n- p) – составных комплексов. 

Степенные комплексы могут иметь физическую размерность (сила естьмасса, умноженная на ускорение) и быть безразмерными.

2.2.  Свойства степенныхкомплексов

Степенные  комплексы  обладают  несколькими  свойствами,  которыенужно учитывать при операциях с ними:

●  Число простыхстепенных комплексов, образованных из нескольких величин, не может превзойтичисла этих величин.

●  Любую функцию некоторых  величин  можно  представить  в  виде функции степенных комплексовэтих величин.

●  Любую безразмернуюфункцию размерных величин можно представить в виде функции безразмерныхстепенных комплексов, образованных из этих величин.

●  Любую размернуюфункцию размерных величин можно представить  в виде произведения размерногостепенного  комплекса,  составленного  из этих величин, и безразмерной функцииэтих же величин.

2.3.  Условия осуществленияподобия для простых уравнений

Как следует из определения подобия, оно может быть осуществлено, содной стороны, при наличии полной математической аналогии между оригиналом имоделью, а с другой – при наличии пропорциональности между сходственными переменнымиоригинала и модели.

Установим на примере условия, при которых оригинал и его модельбудут подобными.