Планирование эксперимента

Планирование экспериментов

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лабораторный практикум «Планирование экспериментов» предназначен для изучения методов подготовки, планирования, проведения и статистической обработки результатов экспериментов, служащих для получения регрессионных моделей первого и второго порядков много факторных объектов.

Лабораторный практикум включает в себя пять тем:

• «Полный факторный эксперимент»;
• «Дробный факторный эксперимент»;
• «Ортогональные центральные композиционные планы»;
• «Ротатабельные центральные композиционные планы»;
• «Униформные центральные композиционные планы».

При выполнении работ практикума Вы познакомитесь с назначением различных экспериментов, научитесь строить их планы, самостоятельно проведете эксперименты над различными объектами, освоите методы вычисления точечных оценок основных числовых характеристик случайных величин, научитесь получать методом наименьших квадратов оценки параметров регрессионных моделей различной степени сложности, ознакомитесь с назначением некоторых статистических критериев и их использованием при проверке различных статистических гипотез.

Приятной работы!

Основные понятия

Объект исследования (ОИ) – есть носитель некоторых неизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств.

Объект исследования можно представить в виде «черного ящика», на входе которого действуют факторы, по предположению влияющие на выходную переменную объекта, называемую откликом.

При функционировании объекта на отклик оказывают влияние различные неучтенные факторы, случайным образом искажающие отклик. Их влияние сводят к действию случайной аддитивной ошибки эксперимента.

Задачей регрессионного анализа является нахождение по результатам эксперимента над объектом математической зависимости между откликом и факторами, называемой моделью объекта исследования:

Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

[attention type=yellow]

В регрессионном анализе рассматривают контролируемые и управляемые факторы, то есть такие, которые можно измерять и устанавливать в нужные значения без погрешностей.

[/attention]

Уровнем фактора называют фиксированное значение фактора относительно начала отсчета.

Разные факторы, даже у одного и того же объекта исследования, имеют различные единицы и шкалы измерений, что затрудняет разработку единых методов планирования и обработки результатов эксперимента. Поэтому принято проводить нормализацию факторов, приводящую все факторы к единой безразмерной шкале измерений.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению, зависящая от факторов.

Случайность отклика связана с действием случайной ошибки, вызванной действием неучтенных факторов в процессе проведения эксперимента.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Поверхность отклика – это геометрическое представление функции отклика.

Например:

Модель объекта представляет собой математическую зависимость между факторами объекта и его откликом. В регрессионном анализе используются статистические модели линейные по параметрам.

Линейная по параметрам модель объекта представляет собой линейную комбинацию базисных функций и имеет следующий вид:

Здесь — отклик объекта;

— неизвестные параметры модели;

— базисные функции;

— случайная ошибка эксперимента.

Если интерпретировать линейную по параметрам модель как разложение неизвестной функции в ряд Тейлора, тот тогда говорят о полиномиальной регрессионной модели. Эти модели чаще всего используются в регрессионном анализе и строятся на основе полиномиальных базисных функций.

Если модель задается полиномом -ого порядка по факторам, то такая модель называется полиномиальной моделью к-ого порядка. Например:

1. Полиномиальная модель 1-ого порядка для трех факторного объекта:

1. Полиномиальная модель 2-ого порядка для объекта с двумя факторами:

и так далее.

Для получения моделей 1-ого порядка используют полные факторные эксперименты типа или дробные факторные эксперименты типа .

В общем случае для получения полиномиальных моделей -ого порядка можно использовать полные факторные эксперименты типа , однако при такие эксперименты становятся весьма трудоемкими и для них не выполняется свойство ортогональности, поэтому на практике они используются очень редко.

На практике модели любого порядка получают с помощью многоуровневых полных факторных экспериментов для моделей, в которых базисные функции представляют собой системы ортогональных многочленов Чебышева. Такие эксперименты при любом порядке модели являются ортогональными.

Для получения моделей второго порядка, имеющих вид полного квадратичного полинома

[attention type=red]

обычно используют центральные композиционные планы (ЦКП). Пример такой модели для двух факторного () объекта приведен выше.

[/attention]

Для трех факторного () объекта модель выглядит так:

Следует отметить, что в эти модели входят только двойные взаимодействия факторов.

Базисные функции

Линейную по параметрам модель можно интерпретировать как разложение функции отклика (функции аргументов — факторов) в ряд по некоторой системе базисных функций.

Такими системами могут быть, например, тригонометрические функции (разложение в ряд Фурье), системы ортогональных многочленов Чебышева, степенные функции (разложение в ряд Тейлора) и так далее. В регрессионном анализе наиболее часто используют, так называемые, полиномиальные регрессионные модели, представляющие собой отрезки рядов Тейлора.

Полиномиальные базисные функции удобнее всего представлять в виде групп:

0. — представляют постоянную составляющую модели;

1. ;;… — факторов объекта;

2. ;;…

3. ;…

…

n.

n+1. ;;…;

…

Произведение факторов называется -кратным взаимодействием факторов.

Полиномиальные базисные функции удобно обозначать индексами входящих в них факторов.

Эксперимент – это система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских операциях. Эксперимент состоит из опытов.

Опыт – это воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов.

Каждому опыту соответствует точка факторного пространства, определяемая упорядоченной совокупностью численных значений факторов, соответствующих условиям проведения опыта.

Опыту с номером соответствует вектор значений факторов объекта

,

задающий координаты точки факторного пространства.

Планирование эксперимента – это выбор плана эксперимента, удовлетворяющий заданным требованиям.

Область экспериментирования (планирования) – область значений факторов, в которой находятся точки, отвечающие условиям проведения опытов используемого плана эксперимента.

Различают активные и пассивные эксперименты, активным является эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются экспериментатором. В пассивном эксперименте уровни факторов только регистрируются, но не задаются.

В лабораторном практикуме изучаются только активные эксперименты.

План эксперимента – это совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

План эксперимента полностью определяется с помощью матрицы плана, представляющей собой прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют опытам, а столбцы – факторам.

Матрица плана имеет следующий вид:

Здесь — значение -ого фактора в опыте с номером ;- число факторов объекта;- общее число опытов в эксперименте.

Каждая строка матрицы плана определяет значения всех n факторов в одном опыте эксперимента. С другой стороны – это координаты точки факторного пространства. Таким образом каждому опыту соответствует определенная точка факторного пространства.Матрица плана может содержать одинаковые строки, что соответствует повторению измерения отклика в одних и тех же точках. Опыты проводящиеся в одной и той же точке факторного пространства называются параллельными опытами.

Спектр плана – совокупность всех точек плана, отличающихся уровнями хотя бы одного фактора.

Спектр плана определяется матрицей спектра плана, которая состоит только из тех строк матрицы плана, которые отличаются от друг друга. По структуре матрица спектра плана отличается от матрицы плана только числом строк, которое может быть меньше или равно числу строк матрицы плана.

Матрица спектра плана определяет план эксперимента не полностью, так как не учитывает параллельные опыты, поэтому ее дополняют матрице дублирования.

Матрица дублирования – это квадратная диагональная матрица, диагональные элементы которой равны числам параллельных опытов в соответствующих точках спектра плана.

[attention type=green]

Чаще всего во всех точках спектра плана проводится одинаковое число параллельных опытов. Такие эксперименты называются экспериментами с равномерным дублированием опытов. Именно такие эксперименты рассматриваются в этом практикуме.

[/attention]

Значение матрицы спектра плана определяет характеристики эксперимента и свойства получаемой модели, да и саму возможность получения модули. Построение матриц спектров планов для различных экспериментов рассмотрено в разделе «Планирование экспериментов».

Подготовка эксперимента

Выбор типа эксперимента

Выбор области планирования

Нормирование факторов

Выбор числа параллельных опытов

Полный факторный эксперимент

Дробный факторный эксперимент

Центральные композиционные планы

Обработка результатов

Этапы обработки

Определение средних и дисперсий отклика

Проверка воспроизводимости

Оценка дисперсии ошибки

Оценка параметров модели

Проверка значимости параметров

Коррекция модели

Проверка адекватности модели

1. Реферат

   К88 Планирование эксперимента и обработка результатов наблюдений: Пособие по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов III курса специальности 160901 заочного обучения.

2. Методические указания

   Настоящие методические указания составлены в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

3. Документ

   Цель дисциплины: состоит в обучении студентов классическим и современным математическим методам обработ­ки экспериментальных данных, полученных при пассивном или актив­ном экспериментах, а также методам планирования оптимальных экспе­риментов.

4. Тематическое планирование

   Приобретение навыков в общих подходах, методах и процедурах планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. Изучение компьютерных методов статистической обработки результатов инженерного эксперимента на примерах использования

5. Документ

   В большинстве случаев в начале и по ходу исследования осознанно и неосознанно выдвигается не одна, а совокупность гипотез, часть которых может образовывать цепочку связанных предположений, вытекающих из исходного.

Планирование психологического эксперимента — Психологос

Планирование эксперимента — один из важнейших этапов организации психологического исследования, на котором исследователь пытается сконструировать наиболее оптимальную для воплощения на практике модель (то есть план) эксперимента.

Грамотно составленная схема исследования, план, позволяет добиться оптимальных значений валидности, надёжности и точности в исследовании, предусмотреть нюансы, за которыми сложно уследить при бытовом «спонтанном экспериментировании». Зачастую, чтобы скорректировать план, экспериментаторы проводят так называемое пилотажное, или пробное, исследование, которое можно рассматривать как «черновик» будущего научного эксперимента.

Основные вопросы, на которые отвечает экспериментальный план

Экспериментальный план создаётся для того, чтобы ответить на основные вопросы о:

• количестве независимых переменных, которые используются в эксперименте (одна или несколько?);
• количестве уровней независимой переменной (изменяется ли независимая переменная или остаётся постоянной?);
• методах контроля дополнительных, или возмущающих, переменных (какие необходимо и целесообразно применить?):
• метод прямого контроля (прямое исключение известной дополнительной переменной),
• метод выравнивания (учитывать известную дополнительную переменную при невозможности её исключения),
• метод рандомизации (случайный отбор групп в случае неизвестности дополнительной переменной).

Одним из самых важных вопросов, на которые должен ответить экспериментальный план, — определить, в какой последовательности должно происходить изменение рассматриваемых стимулов (независимых переменных), воздействующих на зависимую переменную.

Такое воздействие может варьироваться от простой схемы «A1—A2», где A1 — первое значение стимула, A2 — второе значение стимула, до более сложных, таких, как «A1—A2—A1—A2»и т. д.

Последовательность предъявления стимулов — очень важный вопрос, напрямую касающийся соблюдения валидности исследования: к примеру, если постоянно предъявлять человеку один и тот же стимул, он может стать менее восприимчив к нему.

Этапы планирования

Планирование включает в себя два этапа

1. Содержательное планирование эксперимента:

• Определение ряда теоретических и экспериментальных положений, образующих теоретическую основу исследования.
• Формулировка теоретических и экспериментальных гипотез исследования.
• Выбор необходимого метода эксперимента.
• Решение вопроса выборки испытуемых:
• Определение состава выборки.
• Определение объёма выборки.
• Определение способа формирования выборки.

2. Формальное планирование эксперимента:

• Достижение возможности сравнения результатов.
• Достижение возможности обсуждения полученных данных.
• Обеспечение экономичного проведения исследования.

Главной целью формального планирования считается исключение максимально возможного числа причин искажения результатов.

Простые планы

Простые планы, или однофакторные, предусматривают изучение влияния на зависимую переменную только одной независимой переменной.

Преимущество таких планов состоит в их эффективности при установлении влияния независимой переменной, а также в лёгкости анализа и интерпретации результатов.

Недостаток заключается в невозможности сделать вывод о функциональной зависимости между независимой и зависимой переменными.

Опыты с воспроизводимыми условиями

В сравнении с опытами с привлечением двух независимых групп такие планы требуют меньшего количества участников. План не подразумевает наличия разных групп (например, экспериментальной и контрольной). Цель таких опытов — установить воздействие одного фактора на одну переменную.

Опыты с привлечением двух независимых групп

Опыты с привлечением двух независимых групп — экспериментальной и контрольной — опыты, в которых экспериментальному воздействию подвергается лишь экспериментальная группа, в то время как контрольная группа продолжает делать то, что она обычно делает. Цель таких опытов — проверка действия одной независимой переменной.

Комплексные планы

Комплексные планы составляются для экспериментов, в которых изучается либо воздействие нескольких независимых переменных (факторные планы), либо последовательное воздействие различных градаций одной независимой переменной (многоуровневые планы).

Планы для многоуровневых экспериментов

Если в экспериментах используется одна независимая переменная, ситуация, когда изучаются только два её значения, считается скорее исключением, чем правилом. В большинстве однофакторных исследований используется три или более значений независимой переменной, — такие планы часто называют однофакторными многоуровневыми.

Такие планы могут использоваться как для исследования нелинейных эффектов (то есть случаев, когда независимая переменная принимает более двух значений), так и для проверки альтернативных гипотез. Преимущество таких планов — в возможности определить вид функциональной зависимости между независимой и зависимой переменными.

Недостаток, однако же, заключается в больших временных затратах, а также в необходимости привлечь больше участников.

Факторные планы

Факторные планы подразумевают использование более чем одной независимой переменной. Таких переменных, или факторов, может быть сколько угодно, однако обычно ограничиваются использованием двух, трёх, реже — четырёх.

Факторные планы описываются с помощью системы нумерации, показывающей количество независимых переменных и количество значений (уровней), принимаемых каждой переменной.

Например, факторный план 2х3 («два на три») имеет две независимые переменные (факторы), первая из которых принимает два значения («2»), а вторая — три значения («3»); факторный план 3х4х5 имеет соответственно три независимые переменные, принимающие «3», «4» и «5» значений соответственно.

эксперименте, проводимом по факторному плану 2х2, допустим, один фактор, A, может принимать два значения — A1 и A2, а другой фактор, B, может принимать значения B1 и B2. В течение эксперимента согласно плану 2х2 должно быть проведено четыре опыта:

Порядок следования опытов может быть различным в зависимости от целесообразности, определяемой задачами и условиями каждого конкретного эксперимента.

Квазиэкспериментальные планы

Квазиэкспериментальные планы — планы для экспериментов, в которых вследствие неполного контроля за переменными нельзя сделать выводы о существовании причинно-следственной связи.

Понятие квазиэкспериментального плана было введено Кэмпбеллом и Стэнли в работе «Experimental and quasi-experimental designs for research» (Cambell, D. T. & Stanley, J. C., 1996).

Это делалось с целью преодоления некоторых проблем, встававших перед психологами, которые желали провести исследование в менее строгой обстановке, чем лабораторная. Квазиэкспериментальные планы часто применяются в прикладной психологии.

Виды квазиэксперементальных планов:

1. Планы эксперимента для неэквивалентных групп

2. Планы дискретных временных серий.

Типы:

1. Эксперимент по плану временных серий

2. План серий временных выборок

3. План серий эквивалентных воздействий

4. План с неиквивалентной контрольной группой

5. Сбалансированные планы.

Планы ex post facto

Исследования, в которых сбор и анализ данных производится после того, как событие уже свершилось, называемые исследованиями ex post facto, многие специалисты относят к квазиэкспериментальным.

Такие исследования часто осуществляются в социологии, педагогике, клинической психологии и нейропсихологии.

Суть исследования ex post facto состоит в том, что экспериментатор сам не воздействует на испытуемых: в качестве воздействия выступает некоторое реальное событие из их жизни.

В нейропсихологии, к примеру, долгое время (и даже сегодня) исследования основывались на парадигме локализационизма, которая выражается в подходе «локус — функция» и утверждает, что поражения определённых структур позволяют выявить локализацию психических функций — конкретный материальный субстрат, в котором они «находятся», в мозге [см. А. Р. Лурия, «Поражения мозга и мозговая локализация высших функций»]; подобные исследования можно отнести к исследованиям ex post facto.

При планировании исследования ex post facto имитируется схема строгого эксперимента с уравниванием или рандомизацией групп и тестированием после воздействия.

Планы экспериментов с малым N

Планы с малым N также называют «планами с одним субъектом», так как индивидуально рассматривается поведение каждого испытуемого.

Одной из главных причин использования экспериментов с малым N считается невозможность в некоторых случаях применить результаты, полученные из обобщений на больших группах людей, ни к одному из участников индивидуально (что, таким образом, приводит к нарушению индивидуальной валидности.

Психолог Б. Ф. Скиннер считается самым известным защитником этого направления исследований: по его мнению, исследователь должен «изучать одну крысу на протяжении тысячи часов, а не тысячу крыс по часу на каждую или сто крыс по десять часов на каждую. Интроспективные исследования Эббингауза также можно отнести к экспериментам с малым N (только исследуемым им субъектом был он сам).

План с одним субъектом должен учитывать как минимум три условия:

• Необходимо точно определить целевое поведение в терминах событий, которые легко зафиксировать.
• Необходимо установить базовый уровень реакции.
• Необходимо произвести воздействие на испытуемого и зафиксировать его поведение.

Планы корреляционных исследований

О корреляционных исследованиях см. основную статью Корреляционное исследование.

Корреляционное исследование — исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи (корреляции) между несколькими (двумя или более) переменными. От квазиэкспериментального план такого исследования отличается тем, что в нём отсутствует управляемое воздействие на объект исследования.

В корреляционном исследовании учёный выдвигает гипотезу о наличии статистической связи между несколькими психическими свойствами индивида или между определёнными внешними уровнями и психическими состояниями, при этом предположения о причинной зависимости не обсуждаются. Испытуемые должны быть в эквивалентных неизменных условиях. В общем виде план такого исследования можно описать как PxO («испытуемые» x «измерения»).

Виды корреляционных исследований

1. Сравнение двух групп
2. Одномерное исследование
3. Корреляционное исследование попарно-эквивалентных групп
4. Многомерное корреляционное исследование
5. Структурное корреляционное исследование
6. Лонгитюдное корреляционное исследование (Лонгитюдные исследования считаются промежуточным вариантом между квазиэкспериментом и корреляционным исследованием).