ДИПOЛЬ-ДИПOЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Понятие о магнитном диполь-дипольном взаимодействии

Магнитным диполем является небольшая петля с током. Под словом «небольшая» понимают то, что размеры витка с током много меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли.

Любая петля с током создает магнитное поле, которое можно уподобить электрическому полю от электрического диполя.

Магнитный диполь характеризуется магнитным моментом ($overrightarrow{p_m}$), как электрический диполь имеет электрический момент диполя ($overrightarrow{p_e}=qoverrightarrow{l },$).

Из формулы (1) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Векторный потенциал магнитного диполя примет вид:

[overrightarrow{A}left(overrightarrow{r}
ight)=frac{{mu }_0}{4pi }frac{overrightarrow{p_m} imes overrightarrow{r}}{r3}left(2
ight).]

Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:

[overrightarrow{B}=frac{{mu }_0}{4pi }left{frac{3left(overrightarrow{p_m}cdot overrightarrow{r}
ight)overrightarrow{r}}{r5}-frac{overrightarrow{p_m}}{r3}
ight}left(3
ight).]

На больших расстояниях от диполя в любом направлении поле убывает пропорционально $r3$, и растет пропорционально площади витка.

Слово диполь в применении к токам слегка запутывает, так как нет отдельных магнитных полюсов, которые бы соответствовали электрическим зарядам. Магнитное «дипольное» поле создается не двумя зарядами, а элементарной петлей с током.

Взаимодействие магнитных диполей

Из представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (номе 1) тока создает магнитное поле, которое описывается формулой (3), другой виток с током (номер 2) в этом поле находится и взаимодействует с ним.

Поле, которое создает магнитный диполь однородным не является ($overrightarrow{B}e const$). Соответственно сила, с которой магнитное поле действует на виток с током отлична то нуля.

Сила $overrightarrow{dF}$, действующая на элемент контура (2), перпендикулярна к вектору индукции ($overrightarrow{B}$) поля, которое создает диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка ($overrightarrow{dl}$).

Если ориентация магнитного момента диполя (2) остается неизменной по отношению к полю диполя (1), то легко найти количественное выражение для силы взаимодействия диполей. При этом потенциальная энергия механического взаимодействия диполей ($W_{p m}$) зависит только от x (через B). Следовательно:

[F_x=-frac{partial W_{p m}}{partial x}=p_{m2}frac{partial B_1}{partial x}cosalpha left(4
ight),]

где $B_1$ — индукция поля, которое создает магнитный диполь (1), $p_{m2}$ — магнитный момент диполя (2), $alpha $ — угол между вектором поля и вектором магнитного момента. В некоторых случаях считают, что в других направлениях поле изменяется слабо и тогда:

[F=F_x=p_{m2}frac{partial B_1}{partial x}cosalpha left(5
ight).]

Согласно (5) сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, зависит от их взаимной ориентации магнитных моментов.

Если вектор $overrightarrow{p_{m2}}uparrow uparrow overrightarrow{B_1}$ ($alpha =0$), то сила взаимодействия диполей положительна, то есть, направлена в сторону возрастания $overrightarrow{B_1}$ (считается, что $frac{partial B_1}{partial x}>0$). Кроме силы F.

На контур с током будет действовать вращательный момент ($overrightarrow{M}$), равный:

[overrightarrow{M}=left[overrightarrow{p_{m2}} overrightarrow{B_1}
ight] left(6
ight).]

Модуль вектора М равен:

[M=p_{m2}Bsinalpha left(7
ight).]

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Пусть два диполя имеют магнитные моменты $overrightarrow{p_{mi ,}}overrightarrow{p_{mj}}$, они располагаются в точках, которые определены радиус — векторами: $overrightarrow{r_{i ,}}overrightarrow{r_j}$. Тогда энергия взаимодействия этих двух диполей может быть записана как:

[W_{ij}=-overrightarrow{p_{mi ,}}overrightarrow{B_j}left(overrightarrow{p_{mj,}}overrightarrow{r_j}
ight)=-frac{{mu }_0}{4pi }overrightarrow{p_{mi ,}}left{frac{3left(overrightarrow{p_{mj}}cdot overrightarrow{r}
ight)overrightarrow{r}}{r5}-frac{overrightarrow{p_{mj}}}{r3}
ight}left(8
ight).]

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Проведите сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Решение:

Напряженности поля электрического диполя, имеет вид:

[overrightarrow{E}=frac{1}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }left(frac{3left({overrightarrow{p}}_ecdot overrightarrow{r}
ight)overrightarrow{r}}{r5}-frac{overrightarrow{p_e}}{r3}
ight)left(1.1
ight),]

где $overrightarrow{p_e}=qoverrightarrow{l }$— электрический момент диполя.

Согласно формуле (1.1) напряженность поля диполя убывает, пропорционально третьей степени расстояния от диполя, до точки в которой рассматривается поле.

Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:

[overrightarrow{B}=frac{{mu }_0}{4pi }left{frac{3left(overrightarrow{p_m}cdot overrightarrow{r}
ight)overrightarrow{r}}{r5}-frac{overrightarrow{p_m}}{r3}
ight}left(1.2
ight),]

$overrightarrow{p_m}=Ioverrightarrow{S}-$магнитный момент магнитного диполя.

Исходя из вида формул (1.1) и (1.2) магнитное и электрические поля диполей ведут себя аналогично. Именно поэтому элементарный ток называют магнитным диполем. Похожесть этих полей объясняют тем, что дипольные поля возникают тогда, когда наблюдатель находится далеко от токов и зарядов.

Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля очень похожи по форме. У них дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни решения. Однако, источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов физически, существенно различны.

В магнитном поле — это ток, в электрическом поле заряды.

Пример 2

Задание: Покажите, что энергия диполь — дипольного взаимодействия зависит от взаимной ориентации диполей.

Решение:

где $overrightarrow{p_{mi ,}}overrightarrow{p_{mj}}-$ магнитные моменты диполей, $overrightarrow{r_{i ,}}overrightarrow{r_j}$-радиус векторы, определяющие положения диполей.

Преобразуем выражение (2.1), получим:

[W_{ij}=frac{{mu }_0}{4pi }left(frac{p_{mj}p_{mi}{r_{ij}}2-3left(r_{ij}p_{mj}
ight)left(r_{ij}p_{mi}
ight)}{{r_{ij}}5}
ight)=frac{{mu }_0}{4pi }p_{mj}p_{mi}frac{cosvartheta_{ij}-3cosvartheta_jcosvartheta_i}{{r_{ij}}3} left(2.2
ight),]

где $r_{ij}=r_i-r_j$, $vartheta_{ij}$ — угол между векторами $overrightarrow{p_{mi ,}}overrightarrow{p_{mj}}$.

Так из (2.2) ясно видно, что энергия $W_{ij}$ — зависит от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами $p_{mj}{=p}_{mi}=p$, при их горизонтальной параллельной ориентации энергия взаимодействия диполей минимальна и равна:

[W_{ij}=-frac{mu_0}{4pi}frac{{2p}2}{r3}left(2.3
ight).]

Так требуемое доказано.

Взаимодействие магнитных диполей

Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (1) тока создает магнитное поле, описываемое формулой (3), другой (2), находясь в нем, взаимодействует с полем.

Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то B→≠const. Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю.

Элемент контура (2) подвергается силе dF→, перпендикулярной к вектору индукции поля, B→, создающего диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка dl→.

Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя 2) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.

При неизменной ориентации магнитного момента диполя (2), постоянной по отношению к полю диполя (1), легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей Wp m от x(через B) возможно по формуле:

Fx=-∂Wp m∂x=pm2∂B1∂xcos a (4), где B1 является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем (1), pm2 – магнитным моментом диполя (2), a – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:

F=Fx=pm2∂B1∂xcos a (5).

Из выражения (5) видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор pm2→↑↑B1→ (a=0), тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания B1→(считается, что ∂B1∂x>0), кроме силы F.

При действии на контур с током вращательного момента M→:

M→=pm2→B1→ (6).

Модуль вектора М запишется как:

M=pm2Bsin a (7).

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами pmi→, pmj→ и располагаются в точках, определенных радиус-векторами ri→rj→. Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:

Wij=-pmi→, Bj→pmj→, rj→=-μ04πpmi→, 3pmj→·r→r→r5-pmj→r3 (8).

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Пример 1

Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Решение

Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:

E→=14πε0ε3pe→·r→r→r5-pe→r3 (1.1), где pe→=ql→ является электрическим моментом диполя.

Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:

B→=μ04π3pm→·r→r→r5-pm→r3 (1.2), pm→=IS→ обозначает магнитный момент магнитного диполя.

Следуя из (1.1), (1.2), поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов.

Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются.

В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.

Пример 2

Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.

Решение

Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:

Wij=-pmi→, Bj→pmj→, rj→=-μ04πpmi→, 3pmj→·r→r→r5-pmj→r3 (2.1).

Где pmi→, pmj→ являются магнитными моментами диполей, ri→, rj→ – радиус-векторами, определяющими положения диполей.

Произведем преобразование (2.1), тогда:

Wij=μ04πpmjpmirij2-3rijpmjrijpmirij5=μ04πpmjpmjcosυij-3cosυjcosυirij3 (2.2), с rij=ri-rj, υij, являющимся углом между векторами pmi→, pmj→.

Из (2.2) понятно, что энергия Wij находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами pmj=pmi=p, с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:

Wij=-μ04π2p2r3 (2.3).

Что и требовалось доказать.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter