Кинетическое уравнение

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение

Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана) — уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости.

Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики, которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля).

Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность, эффект Холла, вязкость и теплопроводность. Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

  • 1 Формулировка
  • 2 Интеграл столкновений
  • 3 Приближение времени релаксации
  • 4 Вывод уравнения Больцмана
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Литература

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t) функции распределения плотности f(x, p, t) в одночастичном фазовом пространстве, где x и p — координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t. Уравнение Больцмана

Здесь F(x, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля.

Если поле сил F(x, t) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения , то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле.

Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде

,

где L — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и C — оператор столкновений. Нерелятивистская форма L а в общей теории относительности

где Γ — символ Кристоффеля.

Интеграл столкновений

Столкновения между частицами приводит к изменению их скоростей. Если задает вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью в состояние со скоростью , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде

.

В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двух частиц находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Приближение времени релаксации

Уравнения Больцмана — сложное интегродифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов — непростое дело.

Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю.

При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

,

где — равновесная функция распределения, зависит только от скоростей частиц и известная из термодинамики , а — небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции , и записать его в виде:

,

где τ — время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Батнагара-Гросса-Крука (BGK-model). Время релаксации, входящее в уравнения Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретным процессами рассеяния частиц.

Уравнения Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде

.

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовыхсистем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана.

См. также

  • H-теорема
  • Цепочка уравнений Боголюбова

Примечания

  1. Боголюбов Н. Н. (1946). «Кинетические уравнения». Журнал экспериментальной и теоретической физики 16 (8): 691—702.
  2. Боголюбов Н. Н., Гуров К. П. (1947).

    «Кинетические уравнения в квантовой механике». Журнал экспериментальной и теоретической физики 17 (7): 614—628.

  3. Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990.

    159 с. ISBN 5-02-014030-9.

Ссылки

  • 5 книг о Больцмане и его уравнении

Литература

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.

Кинетическое уравнение Больцмана Информацию О

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана
Кинетическое уравнение Больцмана Вы просматриваете субъект
Кинетическое уравнение Больцмана что, Кинетическое уравнение Больцмана кто, Кинетическое уравнение Больцмана описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Наш сайт имеет систему в функции поисковой системы. Выше: «что вы искали?»вы можете запросить все в системе с коробкой. Добро пожаловать в нашу простую, стильную и быструю поисковую систему, которую мы подготовили, чтобы предоставить вам самую точную и актуальную информацию.

Поисковая система, разработанная для вас, доставляет вам самую актуальную и точную информацию с простым дизайном и системой быстрого функционирования. Вы можете найти почти любую информацию, которую вы ищете на нашем сайте.

На данный момент мы служим только на английском, турецком, русском, украинском, казахском и белорусском языках.
Очень скоро в систему будут добавлены новые языки.

Жизнь известных людей дает вам информацию, изображения и видео о сотнях тем, таких как политики, правительственные деятели, врачи, интернет-сайты, растения, технологические транспортные средства, автомобили и т. д.

Химическая кинетика – раздел физической химии, который изучает влияние различных факторов на скорости и механизмы химических реакций.

Под механизмом химической реакции понимают те промежуточные реакции, которые протекают при превращении исходных веществ в продукты реакции.

Основным понятием химической кинетики является понятие скорости химической реакции. В зависимости от системы, в которой протекает реакция, определение понятия «скорость реакции» несколько отличается.

Гомогенными химическими реакциями называются реакции, в которых реагирующие вещества находятся в одной фазе. Это могут быть реакции между газообразными веществами или реакции в водных растворах. Для таких реакций средняя скорость (равна изменению концентрации любого из реагирующих веществ в единицу времени)

.

Мгновенная или истинная скорость химической реакции равна

.

Знак минус в правой части говорит об уменьшении концентрации исходного вещества. Значит, скоростью гомогенной химической реакции называют производную концентрации исходного вещества по времени.

Гетерогенной реакцией называется реакция, в которой реагирующие вещества находятся в разных фазах. К гетерогенным относятся реакции между веществами, находящимися в разных агрегатных состояниях.

Скорость гетерогенной химической реакции равна изменению количества любого исходного вещества в единицу времени на единицу площади поверхности раздела фаз:

.

Кинетическим уравнением химической реакции называют математическую формулу, связывающую скорость реакции с концентрациями веществ. Это уравнение может быть установлено исключительно экспериментальным путём.

В зависимости от механизма все химические реакции классифицируют на простые (элементарные) и сложные. Простыми называются реакции, протекающие в одну стадию за счёт одновременного столкновения молекул, записанных в левой части уравнения. В простой реакции могут участвовать одна, две или, что встречается крайне редко, три молекулы.

Поэтому простые реакции классифицируют на мономолекулярные, бимолекулярные и тримолекулярные реакции. Так как с точки зрения теории вероятности одновременное столкновение четырёх и более молекул маловероятно, реакции более высокой, чем три, молекулярности не встречаются. Для простых реакций кинетические уравнения относительно просты.

Например, для реакции H2 + I2 = 2 HIкинетическое уравнение имеет вид

= k ∙ C(I2) ∙ C(H2).

Сложные реакции протекают в несколько стадий, причём все стадии связаны между собой. Поэтому кинетические уравнения сложных реакций более громоздки, чем простых реакций. Например, для сложной реакции H2 + Br2 = 2 HBrизвестно

= .

Сложность кинетического уравнения напрямую связана со сложностью механизма реакции.

Основным законом химической кинетики является постулат, вытекающий из большого числа экспериментальных данных и выражающий зависимость скорости реакции от концентрации. Этот закон называют законом действующих масс.Он утверждает, что скорость химической реакции в каждый момент времени пропорциональна концентрациям реагирующих веществ, возведённым в некоторые степени.

Если уравнение химической реакции имеет вид

a A + b B + d D → продукты,

то формулу закона действующих масс можно представить в виде

= k ∙ .

В этом уравнении k – константа скорости химической реакции – важнейшая характеристика реакции, не зависящая от концентраций, а зависящая от температуры. Константа скорости химической реакции равна скорости реакции, если концентрации всех веществ равны 1 моль/л. Показатели степеней n1, n2, n3 называют частными порядками химической реакции по веществам А, В и D.

Для простых реакций частные порядки – небольшие целые числа от нуля до трёх. Для сложных реакций частные порядки могут быть и дробными, и отрицательными числами. Сумма частных порядков называется порядком химической реакции n = n1+ n2+ n3. Таким образом, порядком химической реакции называют сумму показателей степеней концентраций в кинетическом уравнении.

Кинетическая классификация простых гомогенных химических реакций

С точки зрения химической кинетики простые химические реакции классифицируют на реакции нулевого, первого, второго и третьего порядков. Реакции нулевого порядка встречаются чрезвычайно редко.

Для того чтобы реакция протекала по нулевому порядку необходимы специфические условия её проведения.

Например, реакция разложения оксида азота (5+) N2O5 → N2O4 + ½ O2 протекает как реакция нулевого порядка только в случае твёрдого оксида азота (5+).

Если же взят газообразный оксид, то реакция протекает как реакция первого порядка.

В то же время следует сказать, что встречается большое количество реакций, в которых частный порядок по какому-либо веществу равен нулю. Обычно это реакции, в которых данное вещество взято в большом избытке по сравнению с остальными реагентами. Например, в реакции гидролиза сахарозы

С12Н22О11 + Н2О → С6Н12О6 + С6Н12О

Сахароза Глюкоза Фруктоза

частный порядок реакции по воде равен нулю.

Самыми распространёнными являются реакции первого и второго порядков. Реакций третьего порядка мало.

Рассмотрим для примера математическое описание кинетики химической реакции первого порядка. Решим кинетическое уравнение такой реакции

= kC.

Разделим переменные dC = – kdt. После интегрирования

∫ = -∫kdt.

получим

lnС = – kt + const.

Найдём постоянную интегрирования, учитывая начальное условие: в момент времени t = 0 концентрация равна начальной С = С0. Отсюда const = lnC0 и

ln С = ln С0 – kt,

ln С – ln С0 = – kt,

ln= – kt,

C = C0∙ e-kt.

Это интегральное кинетическое уравнение реакции первого порядка.

Важной кинетической характеристикой реакции любого порядка является время полупревращения τ½. Временем полупревращения называют время, в течение которого реагирует половина начального количества вещества. Найдём выражение для времени полупревращения реакции первого порядка. Для t = τ½C = C0/2. Поэтому

ln = ln = – kt,

k τ½ = ln 2.

Отсюда

τ½ = = .

Результаты решения дифференциальных кинетических уравнений для реакций всех порядков представим в виде таблицы (табл. 2). Данные этой таблицы относятся к случаю, когда все вступающие в реакцию вещества имеют одинаковые начальные концентрации.

Таблица – Кинетические характеристики простых гомогенных реакций

Способы определения порядка реакции

Для определения порядков химических реакций используют дифференциальные и интегральные способы. Дифференциальные способы используют дифференциальные кинетические уравнения. Порядок реакции с помощью этих способов рассчитывается и представляется в виде числа. При этом, так как способ базируется на кинетическом эксперименте, результат расчёта содержит в себе некоторую погрешность.

Кинетическое уравнение Больцмана в физике

Кинетическое уравнение

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения молекул газа в их фазовом пространстве, где — совокупность обобщенных координат молекулы, – совокупность обобщенных импульсов, соответствующих координатам, – время (функция распределения зависит от времени в нестационарном состоянии). Довольно часто символом Г обозначают совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы и времени . Величины обладают важным свойством: это интегралы движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного движения.

Так, для одноатомного газа величинами являются три компоненты импульса атома . Для двухатомной молекулы в входит импульс и вращательный момент.

Основное кинетическое уравнение

Основное уравнение кинетической теории газов ( или кинетической уравнение) – это уравнение определяющее функцию распределения .

Уравнение:

где — интеграл столкновений, уравнение (1) называют кинетическим уравнением. Символ — означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям молекул. Кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления интеграла столкновений. Тогда кинетическое уравнение приобретает вид (2). Это интегро-дифференциальное уравнение также, называют уравнением Больцмана:

Требуется пояснить, что такое правая часть уравнения (2).

При столкновении двух молекул значения их величин меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала d. Полное число столкновений с переходами со всеми возможными значениями при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу:

(уходящие частицы)

Некоторые молекулы благодаря столкновениям попадают в интервал dГ (столкновения с переходами ). Полное число таких столкновений ( в единицу времени в объеме dV) равно:

(приходящие частицы).

Если вычесть число актов ухода их числа актов прихода, понятно, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1с на

где

Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега l (некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями). Отношение называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений полагают:

Разность в числителе (3) учитывает, что интеграл столкновений обращается в 0 для равновесной функции распределения. Знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия.

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа малой плотности. Кинетическое уравнение — это уравнение первого порядка по времени, оно описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения.

Решение кинетического уравнения весьма сложно с математической точки зрения. Трудности его решения обусловлены многомерностью функции, зависящей от семи скалярных переменных, и сложным видом правой части уравнения.

Если функция распределения зависит только от координаты x и составляющей скорости кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:

где и функции распределения молекул до столкновения и после столкновения; – скорости молекул; — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW, зависящее от взаимодействия молекул. — изменение функции распределения в следствии столкновений. -изменение плотности числа частиц . — сила, действующая на частицу.

Если газ состоит из частиц одного сорта, кинетическое уравнение можно записать в виде:

где – среднее число частиц в элементе фазового объема около точки (-изменение плотности числа частиц около точки ( в момент времени t за единицу времени.

Уравнение Больцмана справедливо если:

  • происходят только парные столкновения молекул: оно справедливо лишь при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в которой происходит столкновение;
  • справедливо предположение о молекулярном хаосе. Вероятность обнаружения частицы 1 в фазовой точке и частицы 2 в фазовой точке независимы друг от друга;
  • равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием (функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия).

Если система находится в состоянии статистического равновесия, то интеграл столкновений обращается в ноль и решением уравнения Больцмана будет распределение Максвелла.

Решение уравнения Больцмана для соответствующих условий позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопические уравнения для различных процессов переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности).

В поле тяготения земли решение уравнения Больцмана есть известная барометрическая формула.

На Основе решений уравнения Больцмана объясняется макроскопическое поведение газа, вычисление коэффициентов вязкости, теплопроводности.

Кинематическое уравнение является основным уравнением динамики разреженных газов и применяется для аэродинамического расчёта летательных аппаратов на больших высотах полёта.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!
Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

×
Рекомендуем посмотреть